21ˆx 0 mod 112, 21x p 35 mod 112. x p mod 16. x 3 mod 17. α 1 mod 13 α 0 mod 17. β 0 mod 13 β 1 mod 17.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "21ˆx 0 mod 112, 21x p 35 mod 112. x p mod 16. x 3 mod 17. α 1 mod 13 α 0 mod 17. β 0 mod 13 β 1 mod 17."

Marta Navrátilová
před 4 lety
Počet zobrazení:

1 1. 2. test - varianta A Příklad 1.1. Kompletně vyřešte rovnici 21x 35 mod 112. Řešení. Protože gcd(112, 21) 21 má dle Frobeniovy věty rovnice řešení. Řešení nalezneme ve dvou krocích. Nejprve kompletně vyřešíme přidruženou homogenní rovnici a poté nelezneme jedno partikulární řešení x p rovnice 21ˆx 0 mod 112, 21x p 35 mod 112. Metodou organizovaného hádání nalezneme bázi řešení ˆx = 16. Všechna řešení pak tvoří lineární obal ˆx = {0, 16, 32,, 96}. Hledáme-li jedno partikulární řešení rovnice stačí vyřešit rovnici 21x p 35 mod 112 3x p 5 mod 16. Jelikož 3 je invertibilní prvek v Z 16, pro řešení x p dostáváme Všechna řešení tvoří množinu x p + ˆx. x p mod 16. Příklad 1.2. Nalezněte zbytek čísla po dělení 296. Řešení. Jelikož gcd(154, 296) = 2 1 nelze přímo použít Eulerovu větu. Nejprve použijeme čínskou větu o zbytcích a poté Eulerovu větu: Řešením rovnice je číslo 80. Zbytek čísla po dělení 296 je 80. x mod 8 x mod 37 Příklad 1.3. Vyřešte rovnici x 7 mod 13 3x 9 mod 17. Řešení. Rovnice ze zadání je ekvivalentní rovnici (3 je invertibilní v Z 17 ) Nejprve nalezneme řešení následující dvojice rovnic a Řešení x pak dostaneme jako lineární kombinaci Rovnice pro α je ekvivalentní s rovnicí x 7 mod 13 x 3 mod 17 α 1 mod 13 α 0 mod 17 β 0 mod 13 β 1 mod 17. x 7α + 3β mod α = k = 17l, pro nějaká celá čísla k a l. Tato rovnice, která je ekvivalentní Bezoutově rovnosti, má řešení, protože gcd(13, 17) = 1. Řešení nalezneme použitím rozšířeného Eukleidova algoritmu: 1

2 2 n a n b n q n+1 r n+1 s n t n Bezoutova rovnost má tvar 17 ( 3) = 1 a α = 51. Obdobně pro β dostaneme β = 52 (vše potřebné je již spočítáno, stačí vhodně interpretovat Bezoutovu rovnost).

3 test - varianta B Příklad 2.1. Kompletně vyřešte rovnici 27x 36 mod 117. Řešení. Protože gcd(117, 27) 36 má dle Frobeniovy věty rovnice řešení. Řešení nalezneme ve dvou krocích. Nejprve kompletně vyřešíme přidruženou homogenní rovnici a poté nelezneme jedno partikulární řešení x p rovnice 27ˆx 0 mod 117, 27x p 36 mod 117. Metodou organizovaného hádání nalezneme bázi řešení ˆx = 13. Všechna řešení pak tvoří lineární obal ˆx = {0, 13, 26,, 104}. Hledáme-li jedno partikulární řešení rovnice stačí vyřešit rovnici 27x p 36 mod 117 3x p 4 mod 13. Jelikož 3 je invertibilní prvek v Z 13, pro řešení x p dostáváme Všechna řešení tvoří množinu x p + ˆx. x p mod 13. Příklad 2.2. Nalezněte zbytek čísla po dělení 297. Řešení. Použijeme algoritmus opakovaných čtverců v Z 297 : Zbytek čísla po dělení 297 je 54. a 2k s t a 2k mod n a t mod n * * * * * * * * * * Příklad 2.3. Vyřešte rovnici x 5 mod 13 2x 4 mod 15. Řešení. Rovnice ze zadání je ekvivalentní rovnici (2 je invertibilní v Z 15 ) Nejprve nalezneme řešení následující dvojice rovnic a x 5 mod 13 x 2 mod 15 α 1 mod 13 α 0 mod 15 β 0 mod 13 β 1 mod 15.

4 4 Řešení x pak dostaneme jako lineární kombinaci x 5α + 2β mod Rovnice pro α je ekvivalentní s rovnicí α = k = 15l, pro nějaká celá čísla k a l. Tato rovnice, která je ekvivalentní Bezoutově rovnosti, má řešení, protože gcd(13, 15) = 1. Řešení nalezneme použitím rozšířeného Eukleidova algoritmu: n a n b n q n+1 r n+1 s n t n Bezoutova rovnost má tvar 15 ( 6) = 1 a α = 90. Obdobně pro β dostaneme β = 91 (vše potřebné je již spočítáno, stačí vhodně interpretovat Bezoutovu rovnost).

5 test - varianta A2 Příklad 3.1. Kompletně vyřešte rovnici 22x 55 mod 143. Řešení. Protože gcd(143, 22) 55 má rovnice dle Frobeniovy věty řešení. Řešení nalezneme ve dvou krocích. Nejprve kompletně vyřešíme přidruženou homogenní rovnici a poté nelezneme jedno partikulární řešení x p rovnice 22ˆx 0 mod 143, 22x p 55 mod 143. Metodou organizovaného hádání nalezneme bázi řešení ˆx = 13. Všechna řešení pak tvoří lineární obal ˆx = {0, 13, 26,, 130}. Hledáme-li jedno partikulární řešení rovnice stačí vyřešit rovnici 22x p 55 mod 143 2x p 5 mod 13. Jelikož 2 je invertibilní prvek v Z 13, pro řešení x p dostáváme Všechna řešení tvoří množinu x p + ˆx. x p mod 13. Příklad 3.2. Nalezněte zbytek čísla po dělení 375. Řešení. Jelikož gcd(20, 375) = 5 1 nelze přímo použít Eulerovu větu. Nejprve použijeme čínskou větu o zbytcích a poté Eulerovu větu: Řešením rovnice je číslo 125. Zbytek čísla po dělení 296 je 80. x mod 125 x mod 3 Příklad 3.3. Vyřešte rovnici x 6 mod 11 7x 21 mod 23. Řešení. Rovnice ze zadání je ekvivalentní rovnici (7 je invertibilní v Z 23 ) Nejprve nalezneme řešení následující dvojice rovnic a Řešení x pak dostaneme jako lineární kombinaci Rovnice pro α je ekvivalentní s rovnicí x 6 mod 11 x 3 mod 23 α 1 mod 11 α 0 mod 23 β 0 mod 11 β 1 mod 23. x 7α + 3β mod α = k = 23l, pro nějaká celá čísla k a l. Tato rovnice, která je ekvivalentní Bezoutově rovnosti, má řešení, protože gcd(11, 23) = 1. Řešení nalezneme použitím rozšířeného Eukleidova algoritmu:

6 6 n a n b n q n+1 r n+1 s n t n Bezoutova rovnost má tvar 23 (1) = 1 a α = 23. Obdobně pro β dostaneme β = 22 (vše potřebné je již spočítáno, stačí vhodně interpretovat Bezoutovu rovnost).

7 test - varianta B Příklad 4.1. Kompletně vyřešte rovnici 39x 52 mod 143. Řešení. Protože gcd(143, 39) 52 má rovnice dle Frobeniovy věty řešení. Řešení nalezneme ve dvou krocích. Nejprve kompletně vyřešíme přidruženou homogenní rovnici a poté nelezneme jedno partikulární řešení x p rovnice 39ˆx 0 mod 143, 39x p 52 mod 143. Metodou organizovaného hádání nalezneme bázi řešení ˆx = 11. Všechna řešení pak tvoří lineární obal ˆx = {0, 11, 22,, 132}. Hledáme-li jedno partikulární řešení rovnice 39x p 52 mod 143 stačí vyřešit rovnici 3x p 4 mod 11. Jelikož 3 je invertibilní prvek v Z 11, pro řešení x p dostáváme Všechna řešení tvoří množinu x p + ˆx. x p mod 11. Příklad 4.2. Nalezněte zbytek čísla po dělení 351. Řešení. Použijeme algoritmus opakovaných čtverců v Z 351 : Zbytek čísla po dělení 375 je 216. a 2k s t a 2k mod n a t modn * * * * * * * * * * * Příklad 4.3. Vyřešte rovnici x 3 mod 21 4x 16 mod 17. Řešení. Rovnice ze zadání je ekvivalentní rovnici (4 je invertibilní v Z 17 ) Nejprve nalezneme řešení následující dvojice rovnic a x 3 mod 21 x 4 mod 17 α 1 mod 21 α 0 mod 17 β 0 mod 21 β 1 mod 17.

8 8 Řešení x pak dostaneme jako lineární kombinaci x 3α + 4β mod Rovnice pro α je ekvivalentní s rovnicí α = k = 17l, pro nějaká celá čísla k a l. Tato rovnice, která je ekvivalentní Bezoutově rovnosti, má řešení, protože gcd(21, 17) = 1. Řešení nalezneme použitím rozšířeného Eukleidova algoritmu: n a n b n q n+1 r n+1 s n t n Bezoutova rovnost má tvar 21 ( 4) = 1 a α = 85. Obdobně pro β dostaneme β = 84 (vše potřebné je již spočítáno, stačí vhodně interpretovat Bezoutovu rovnost).

Podobné dokumenty

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20

Okruh Lineární rovnice v Z m Těleso Gaussova eliminace (GEM) Okruh Z m. Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20 Okruh Z m Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2007: Okruh Z m 1/20 Minule: 1 Slepování prvků Z modulo m: množina Z m. 2 Operace na Z m : m (sčítání), m (násobení). 3 Speciální prvky: [0] m a [1] m. 4 Vlastnosti